Was ist random walk?

Ein Random Walk, auch Irrfahrt oder Zufallsbewegung genannt, ist ein mathematischer Prozess, der einen Pfad beschreibt, der aus einer Folge von zufälligen Schritten auf einem mathematischen Raum besteht.

• Grundlagen: Ein Random Walk beginnt an einem Startpunkt und bewegt sich in zufälligen Richtungen, wobei die Länge jedes Schrittes ebenfalls zufällig sein kann. Die aufeinanderfolgenden Schritte sind unabhängig voneinander.

• Anwendungen: Random Walks finden Anwendung in verschiedenen Bereichen, darunter:

  • Physik: Brownsche%20Bewegung, Diffusion von Teilchen
  • Finanzmathematik: Modellierung%20von%20Aktienkursen, Optionspreise
  • Informatik: Algorithmen, Sampling-Methoden wie Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
  • Biologie: Bewegung%20von%20Zellen, Suche nach Nahrung

• Varianten: Es gibt verschiedene Arten von Random Walks, z.B.:

  • Eindimensionale Random Walks: Bewegung auf einer Linie.
  • Mehrdimensionale Random Walks: Bewegung in der Ebene oder im Raum.
  • Simple Random Walks: Alle Schritte haben die gleiche Länge.
  • Weighted Random Walks: Schritte haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten und Längen.

• Mathematische Eigenschaften: Random Walks weisen interessante mathematische Eigenschaften auf, wie z.B.:

  • Wahrscheinlichkeit%20der%20Rückkehr%20zum%20Ausgangspunkt: In niedrigen Dimensionen (1 oder 2) kehrt ein Random Walk fast sicher unendlich oft zum Ausgangspunkt zurück.
  • Diffusionsverhalten: Im Laufe der Zeit breitet sich der Random Walk aus, ähnlich wie bei einem Diffusionsprozess.
  • Zentraler%20Grenzwertsatz: Die Verteilung der Position des Random Walks nähert sich bei vielen Schritten einer Normalverteilung an.

• Beispiel: Ein einfaches Beispiel ist das Werfen einer Münze. Bei Kopf geht man einen Schritt nach rechts, bei Zahl einen Schritt nach links. Die Position nach n Würfen ist ein Random Walk.